Números enteros
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Existen muchas cantidades que pueden tomarse teniendo en cuenta siempre dos sentidos o dos condiciones y son siempre opuestas unas a las otras, entre estas tenemos por ejemplo:
-La temperatura puede darse en grados sobre cero o positivos y grado bajo cero o negativos, Cuando usted se coloca en un ascensor recorre bajo la superficie de la tierra distancias negativa y sobre la superficie de la tierra distancias positivas, Cuando usted maneja cuentas de dinero lo que se tiene se coloca con signo positivo y lo que se debe con signo negativos y así muchas situaciones en donde es necesario que los números estén acompañados de un signo es por eso que fue necesario crear un nuevo sistema de números que nos permitiera aplicar todas estas situaciones y que se llamo Números Enteros

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Se llaman números enteros a los mismos números naturales pero con signo y pueden ser positivos o negativos, incluyendo el cero
. se representar por la letra Z. lo que implica que Z = {. . .-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, . . .}
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
Al igual que en los números naturales, con los números enteros se pueden realizar todas las operaciones, como son sumar, restar, multiplicar, dividir, hacer potenciaciones y sacar raices

Construcción formal de los enteros a partir de los naturales

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo − 3 = 5 − 8, de donde puede asociarse el número − 3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado − 3 al restar sus componentes, no puede decirse simplemente que − 3 = (5,8). Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado − 3 al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) puedan ser asociados al mismo número entero.

Amplia más la información en la pagina de Internet
http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/numenteros/termometro/termometro_p.html


Representación gráfica de los enteros
Los números enteros se pueden representar a través de una recta numérica, ubicando en un punto cualquiera el numero cero y tomando segmentos de recta iguales hacia la derecha ubicamos los números enteros positivos y hacia la izquierda los números enteros negativos


Números enteros.

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Para escribir un número entero positivo se coloca + delante de la cantidad expresada.


+ 200
Se lee: "más doscientos".
o también 200 positivos

Para escribir un número entero negativo se coloca delante de la cantidad expresada.
−100
Se lee: "menos cien".
o también 100 negativo





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external image sp.gifOpuesto de un número


Los números +300 y −300 tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se dice que +300 es el opuesto de −300 y al revés: −300 es el opuesto de +300.

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external image sp.gifEl opuesto de un número entero es el número con el mismo valor absoluto pero con distinto signo.


Se escribe así:

op (+25) = −25
Se lee: "El opuesto de +25 es −25".

Con los números enteros se pueden hacer multiples aplicaciones como son:

Aplicación en contabilidad: Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: "30" podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que "3" escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
Aplicación en las temperaturas: En las temperaturas podemos observar que si el clima es muy caliente entonces las temperaturas se consideran positivas y si las temperaturas son muy frías entonces se consideran bajo cero o sea negativas

Valor absoluto de un entero
  • El valor absoluto de un entero es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo. En una línea numérica es la distancia entre el número y el cero.
  • El valor absoluto de -15 es 15. El valor absoluto de +15 es 15.
  • El símbolo para el valor absoluto consiste en encerrar el número entre barras verticales tales como |-20| = 20 y leer “El valor absoluto de -20 es igual a 20

El orden de los números enteros:
  • Comparar dos números es decir cuál es mayor, cuál es menor o si son iguales. ¿En qué caso la temperatura es menor?


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  • Para averiguarlo, basta con representar los números −2 y −9 en la recta numérica:

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  • Vemos que −9 está a la izquierda de −2; por tanto, −9 es menor que −2.

  • || Una comparación se escribe con los símbolos
  • > mayor que
  • < menor que
  • = igual que || || −9 < −2 ||

  • Se lee: "−9 es menor que −2". ||
  • Para comparar 2 números enteros debemos tener en cuenta:
  • Todo numero positivo es mayor que cualquier negativo
  • Todo numero negativo es menor que cualquier positivo
    El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos
  • De 2 números cualquiera positivo es mayor el que este más alejado del cero y menor el que este mas cerca al cero
  • De 2 números negativos es mayor el que este mas cerca al cero y menor el que este mas alejado del cero
  • Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

  • Para jugar con los números enteros visite la pagina de Internet:
  • http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/numenteros/enteros_p.html



LECTURA SOBRE NÚMEROS ENTERO

Números enteros (Z)


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Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.
Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.
En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.
El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

Para aprender más consulta las paginas:
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
http://ntic. educación.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jquiz38.htm
vídeo # 1. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .. . . . . video # 2
Historia sobre los enteros







Preparado por: Adalberto paternina Alicenciado en Matemática fisica de la universidad de CordobaEsp Administración de la Informática Educativa por la Udes l