SUMA DE NÚMEROS ENTEROS



al sumar números naturales lo que hacemos siempre es que a una cantidad le añadimos o agregamos otra cantidad


esto no sucede cuando sumamos números enteros porque usamos números con signo y cuando hablamos de sumar


de enteros no siempre significa añadir o agregar. Veamos algunas situaciones que así lo demuestran:


numeros-enteros1[1].jpg,a. Si Bogotá estaba a una temperatura de -8 grados en la mañana y al paso del medio día se ha aumentado en 10 grado la temperatura, significa entonces que la temperatura es de +2 grados
b, Maria debe a Carlos $2000 y le paga con un billete de $5000 pesos entonces -2000 + 5000 = 3000 lo que significa que le quedan $ 3000 pesos
c. El griego Plantón nació en el año 429 A de C y murió en el año 349 A de C ¿cuantos años tenia cuando murio
d. Un buzo se encuentra a -6 metros de profundidad y presiona su bomba de aire de emergencia que lo impulsa hacia arriba 10 metros que altura alcanza sobre la superficie del agua


Estos y muchos casos más nos permiten entender que para sumar enteros debemos utilizar unas reglas especiales que nos permitan comprender mejor estos casos. Estas reglas son

1. Suma de enteros con igual signo: Para sumar 2 enteros que tenga igual signo se suman los valores absolutos de los números y al resultado les coloca el mismo signo. Ejemplos

(-3) + (-7) = -10 . . . . . (-20) + (-15) = -35
(+4) + (+8) = +12 . . . . . .. .(+8 ) + (+12) = +20

2. Suma de enteros con signos distintos: Para sumar enteros que tengan signos distintos se restan sus valores absolutos y al resultado se les coloca el signo del que tenga mayor valor absoluto-
Es decir al que tenga mayor valor absoluto se le quita la cantidad del que tenga menor valor absoluto y predomina el signo del que tenga mayor valor absoluto. Ejemplos:

(-12) + (+4) = -8 . . . . . . . . . (+11) + (-7) = +4
(-20) + (+5) = -15. . . . . . . .. . (-13) + (+8) = -5

Taller # 1
Llenar el siguiente cuadro utilizando las reglas de la suma de enteros
+
-5
-9
+8
-3
+2
-7
-6
+4
-4
+3









-2



-5





+4







+8
0
-8









0









+2









-5








-9


Taller # 2

. . . . .. . . .llenar el siguiente cuadro segun el caso

b
c
a + b
b + a
a+c
c + a
a + b + c
-2
+4
-21





+4
-14
+6





-5
+5
-3





+11
-7
+13





-7
+7
+10





+8
-2
-5





0
+8
+5






PROPIEDADES DE LA SUMA DE ENTEROS

Al llenar los anteriores cuadros usted puede observar que la suma de números enteros cumplen con las siguientes propiedades:

1. Clausurativa: La de 2 enteros es siempre otro número entero ej: (-3) + (+4) = +1
2. Asociativa: Al agrupar de diferentes forma la suma de varios enteros el resultado siempre es el mismo
Ejemplo: (-4) + [ (-5) + (-6) ] = [ (-4) + ((-5)] + (-6)

3. Conmutativa El orden en que se realice la suma de dos enteros no altera el resultado EJ: [(-2) + (+7)] = [(+7) + (-2)]
4.Elemento neutro: La suma de cualquier numero entero con el cero da siempre el mismo número entero
[(-5) + (0) ] = [(0) + (-5)] = (-5)
5. Inverso Aditivo: Todo número entero sumado con su opuesto da como resultado el cero ejemplo:

(+5) + (-5) = 0
(-11) + (+11) = 0

Desplazamientos en la recta numérica:
Un cuerpo se desplaza cuando al moverse cambia de posición. Ejemplo:
Partiendo de la posición “0”, desplazarse cuatro posiciones hacia la izquierda y siete posiciones
hacia la derecha.


Siempre que se haga un desplazamiento hacia la derechas se dice que el desplazamiento es positivo
y si el desplazamiento se hace hacia la izquierda entonces se dice que el desplazamiento es negativo

external image desplazamientoprimero.jpg
Después de estos dos desplazamientos queda en la posición 3d.

Ejercicio: Represento en rectas numéricas los siguientes desplazamientos.
Pero tenga en cuenta que: Inicio en cero "0" y luego para hacer uno nuevo, me desplazo desde el
punto a donde he llegado (Observo las gráficas con detenimiento).


  1. Siete pasos a la izquierda y cinco pasos a la derecha.
  2. Tres pasos a la derecha y seis pasos a la derecha.
  3. Nueve pasos a la derecha y siete pasos a la izquierda.
  4. Once pasos a la izquierda y cinco pasos a la derecha.
  5. Dos pasos hacia la izquierda, cuatro hacia la derecha y seis hacia la derecha.


Para pensar: Después de tres desplazamientos con la misma magnitud y sentido, el cuerpo se
encuentra 12 m. hacia la derecha. ¿Cuál es la magnitud y el sentido de cada desplazamiento
Desplazamientos positivos y negativos:
Las posiciones en la recta numérica hacia la derecha del origen son con signo positivo y las de la
izquierda son con signo negativo, como también se llamará a los desplazamientos hacia la derecha positivos y hacia la izquierda negativos.
external image negativospositivos2.jpg




Ejemplo:
Pedro camina tres pasos hacia la derecha y luego cinco en la misma dirección ¿a cuántos pasos se
encuentra de la posición inicial?.
external image desplazamientosuno.jpg
3 + 5 = 8


Angie se desplaza 4 m. hacia la derecha y luego 7 m. hacia la izquierda. ¿A qué distancia se encuentra
del punto de partida?
external image desplazamientosdos.jpg
4 + ( 7 ) = 3


Edward se desplaza 3 m. hacia la izquierda y 5 m. más hacia la izquierda. ¿A que distancia se encuentra
del punto de partida?.
external image desplazamientostres.jpg
3 + ( 5 ) = – 8
Teniendo en cuenta que siempre el punto de Origen es CERO, que los desplazamientos a la izquierda
son cantidades NEGATIVAS y que los desplazamientos a la derecha son cantidades POSITIVAS,
observo con detenimiento la gráfica y saco mis propias conclusiones:
La siguiente operación, la puedo escribir de dos maneras:
– 3 + 7 – 9 = ó – 3 + 7 + (– 9) =
external image desplazamientos4.jpg


Aplicación a situaciones reales

1. Maria le debe al tendero $ 5000 y le paga con un billete de $10000 Como queda ( -5000) + (+10000) = +5000
lo que significa que le quedan 5000

2. El termómetro en la madrugada estaba -20 grados y al medio día estaba en +8 ¿aumento o disminuyo la temperatura y
cuanto ( -20) + ( x ) = +8 entonces x = +8 - (-20) = +8 + (+20) = 28 quiere decir que aumento 28 grados

3. Un equipo de fútbol tiene 7 goles a favor y 12 en contra ¡cual es la situación final? (+7) + (-12) = -5 quiere decir que tiene 5
goles en contra

4 en una región se registro una temperatura de -8° y en la tarde la temperatura sube 10° a que temperatura estaba
(-8) + (+!0) = +2 Esta a 2° sobre cero
5. Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre
ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió
en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si
las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo
de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en
total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa


6, Con un número entero expresen el resultado de los movimientos que realizo una auto que recorre 40 metros a la derecha
de una carretera recta y retrocede 30 metros, por la misma carretera; luego recorre adelante 20 metros y retrocede 35 metros
. ¿Cómo interpretan el resultado?
R: (+40) + (-30) + (+20) + (-35) = -5; El auto está a 5 metros de su origen, pero en sentido contrario. A la izquierda de su partida.
7. Al enchufar un refrigerador, la temperatura desciende 4ºC cada 10 minutos. Si se enchufa a las 8 de la mañana y la
temperatura ambiente es de 12Cº C ¿A qué hora alcanza los ?24ºC
R: 12 + (-4) = 8;8 + (-4) = 4; 4 + (-4) = 0; 0 + (-4) = -4; -4 + (-4) = -8; -8 + (-4) = -12; -12+ (-4) = -16; -16+ (-4) = -20; -20+ (-4) =
-24. Por lo tanto esta temperatura se daría a las 9:30 a.m.
Corrija estos últimos ejercicios en clase, para que despeje dudas tanto acerca del proceso como de los resultados.



Ejercicio:
1. Efectúo con ayuda de la recta numérica las operaciones indicadas.
a. – 7 + (– 2 ) =
b. – 4 + 13 =
c. – 3 + (– 1 ) + 8 =
d. – 4 + (– 1) + (– 3) + 9 =
d. 12 + (– 14) =
e. 9 + 12 =

2. Ejercicio: Este ejercicio nos permite distinguir las cantidades positivas y negativas.
Analiza y coloque antes de la cantidad – o + de acuerdo con cada enunciado. Explique en cada caso la
selección.
- Una deuda de $ 7.800,oo
- 5 kilómetros al norte.
- 3 kilómetros al este.
- La temperatura en San José del Guaviare es de 28°C.
- Un retiro del Banco Popular de $ 120.000,oo
- 17 kilómetros al sur.
- 12 kilómetros al oeste
- Alaska está a 10°C bajo cero.

3. Crea en su cuaderno un extracto bancario y tenga en cuenta la siguiente información.
Después de contar con un saldo de $54.000,oo ; completa el siguiente extracto bancario con la siguiente
información:
- Deposita a la cuenta $36.000,oo el día 25 de febrero
- Retira $58.000,oo el 12 de marzo.
- Retira $42.000,oo el 29 del mismo mes.
- Deposita $25.000,oo el 09 de abril.
- Retira $37.000,oo el 17 de abril.
- Consigna $23.000,oo el 21 de abril


Responda.
¿Cuántas veces se presentó un sobregiro? y cuál es la última cantidad que aparece en el extracto?.

Ejercicios de aplicación a situaciones reales

  1. Un elevador subió 8 pisos, bajo 12 más, subió 9, bajó otros 3 y se detuvo en el piso 42. ¿De qué piso partió?
    R: Parto del piso 42 y me devuelvo, de acuerdo al problema dado:
    42 + (+3) +(-9) + (+12) + (-8) = 40. Para comprobarlo: 40 + 8 + (-12) + 9 + (-3) = 42.
  2. En la Guerra del golfo Pérsico un submarino que navega a ?200 m recibe una orden de desplazarse entre ? 280 y

340 m.
    1. ¿Cuánto debe descender como mínimo para navegar en la zona permitida?
      R: 80 metros
    2. ¿Cuánto debe descender como máximo para navegar en la zona permitida?
      R: 140 metros
    3. El submarino navega en la zona permitida y recibe una nueva orden: desplazarse entre ?300 y ?150 m. ¿Es
posible que el submarino tenga que descender para acatar la segunda orden? ¿Por que?
    • R: No necesita descender, pues está dentro del nuevo límite exigido.

    • Ejercicio: # 2
    • Desarrollo los siguientes problemas
    • 1. Un ciclista recorrió 31 kilómetros hacia el este y luego 50 kilómetros hacia el este. a
    • Cuál es ahora su posición con respecto al punto de partida?

    • 2. Averigüen de cuántos años murió Sócrates, filósofo griego, que nació en Atenas en
    • el –470 y murió en el 399
    • .
    • 3. Oscar compra 120 naranjas a $6.000,oo la docena y las vende a $70,oo cada una. Si se
    • le dañaron 35 naranjas, ¿a cuánto asciende la ganancia o la pérdida?

    • Para pensar: Encuentre la menor suma que se puede obtener al sumar tres de los
    • siguientes números: 7, 25, -1, 12, -3
    • .
Profundización
¿Cuál es la temperatura más fría posible? Investigar acerca de los conceptos de 0 absoluto en términos de temperatura y diferentes métodos de medición y registro de la temperatura; ejemplo, grados Kelvin, grados Centígrados, grados Fahreinheit; y desarrollar ejercicios para encontrar equivalentes entre estas escalas.

Ejercicios # 3

1. Amaya y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Amaya avanza 6 km y luego retrocede 2 km, mientras que Jorge avanza 8 km y retrocede 5 km.
a) ¿A qué distancia se encuentra uno del o tro?
b) ¿Quién ha avanzado más de los dos?
c) ¿Quién ha recorrido más km






2. Se cree que Arquímedes inventó el tornillo. Después de 2146 años se inventó el ordenador, en 1946.
¿En qué año inventó Arquímedes el tornillo?


3. E l nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?

4. Pitágoras murió el año 493 a de C y nació en el 580 a.C. ¿Cuántos años vivió?



.
Si deseas sumar enteros en forma gráfica dirígete a en la siguiente direccion
http://i-matematicas.com/recursos0809/1ciclo/enteros/interactivo/SumasRestas.htm


Si deseas jugar con los numeros enteros Utiliza la pagina
http://dinamaticas.eu/juegos/enteros/index.php

VIDEO # 1 Suma de Enteros


Preparado por:
Adalberto Paternina ALic en Matemáticas Física
Informática educativa por udes